Question

某种玫瑰花，进货商当天以每支1元从鲜花批发商店购进，以每支2元售出．若当天卖不完，剩余的玫瑰花批发商店以每支0.5元的价格回收．根据市场统计，得到这个季节的日销售量X（单位：支）的频率分布直方图（如图所示），将频率视为概率．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若进货量为n（单位支），当n≥X时，求利润Y的表达式；
（3）若当天进货量n=400，求利润Y的分布列和数学期望E（Y）（统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表）．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,频率分布直方图,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）由频率分布直方图能求出a的值．
（2）由n≥X，知Y=（2-1）X-（n-X）0.5，由此能求出利润Y的表达式．
（3）若当天进货量n=400，依题意销售量X的可能值为200，300，400，500，对应的利润Y分别为100，250，400．由此能求出利润Y的分布列和数学期望E（Y）．

解答： 解：（1）由频率分布直方图，
得100a+0.002×100+0.003×100+0.003 5×100=1，
解得a=0.0015．（3分）
（2）∵n≥X，
∴Y=（2-1）X-（n-X）0.5=1.5X-0.5n．
∴利润Y的表达式为Y=1.5X-0.5n．（6分）
（3）若当天进货量n=400，依题意销售量X的可能值为200，300，400，500，
对应的利润Y分别为100，250，400．
∴利润Y的分布列为：

Y	100	250	400
P	0.20	0.35	0.45

∴E（Y）=100×0.20+250×0.35+400×0.45=287.5（元）．（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意频率直方图的合理运用．