Question

已知函数f（x）=x²+alnx（x＞0）
（1）a=-2时，求函数的单调区间；
（2）a=-8时，求函数在[1，e]上的最小值及最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=-2时，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，（x＞0）分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可得出单调区间．
（2）当a=-8时，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，（x∈[1，e]）分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0，即可得出单调区间，进而得出极值与最值．

解答： 解：f′(x)=2x+

a

x

(x＞0)．
（1）当a=-2时，f′(x)=2x-

2

x

=

2(x+1)(x-1)

x

，
当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴函数的单调递增区间为（1，∞）；递减区间为（0，1]．
（2）当a=-8时，f′(x)=2x-

8

x

=

2(x+2)(x-2)

x

，
当2＜x≤e时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；
当1≤x＜2时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．
∴当x=2时，函数f（x）取得极小值即最小值，f（2）=4-8ln2．
∵f（1）=1，f（e）=e²-8＜0，∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，最大值为1．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．