Question

已知函数f（x）=e^x-ln（x+m），其中m∈R且m为常数．
（Ⅰ）试判断当m=0时函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并证明；
（Ⅱ）设函数f（x）在x=0处取得极值，求m的值，并讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）代入m=0，只需判断x∈[1，+∞）时，f′（x）的符号即可；
（Ⅱ）由题意得f′（0）=0，可求m，从而可得f′（x），易判断f′（x）单调递增，再由导函数零点可知其符号变化情况，从而可得f（x）的单调性；

解答： 解：（Ⅰ）当m=0时，f（x）=e^x-lnx，
求导数得：f′(x)=ex-

1

x

，
∵当x∈[1，+∞）时，ex≥e，

1

x

≤1，∴f'（x）＞0，
∴当m=0时函数f（x）在区间[1，+∞）上为增函数；
（Ⅱ）求导数得：f′(x)=ex-

1

x+m

，
由x=0是f（x）的极值点得f'（0）=0，∴m=1，
于是f（x）=e^x-ln（x+1），定义域为（-1，+∞），
f′(x)=ex-

1

x+1

，
显然函数f′(x)=ex-

1

x+1

在（-1，+∞）上单调递增，且f'（0）=0，
因此当x∈（-1，0）时，f'（0）＜0；x∈（0，+∞）时，f'（0）＞0，
∴f（x）在（-1，0）上单调递减，在（0，+∞）单调递增．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、极值，正确理解导数与函数单调性的关系是解题关键．