Question

已知函数f（x）=ax³+48（a-2）x，a∈R．若f′（2）=-36
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间及极值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由f′（2）=3a•2²+48（a-2）=-36，解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³-48x，因此f′（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4）令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），进而f（x）_极大值=f（-4）=128，f（x）_极小值=f（4）=-128．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（2）=3a•2²+48（a-2）=-36，
解得；a=1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=x³-48x，
∴f′（x）=3x²-48=3（x+4）（x-4）
令f′（x）=0，得x₁=-4，x₂=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，
令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4，
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）_极大值=f（-4）=128，f（x）_极小值=f（4）=-128．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．