Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=1处取得极值-2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用

分析：（1）先求出函数的导函数，得出方程组，解出a，b的值，从而求出函数的表达式；
（2））由f'（x）=3x²-3因此f'（2）=3×2²-3=9，又f（2）=2³-3×2=2故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程容易求出．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3ax²+2bx-3，
依题意有，

f′(1)=0 f(1)=-2

，
即 

3a+2b-3=0 a+b-3=-2

，
解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x，
（2）∵f'（x）=3x²-3
∴f'（2）=3×2²-3=9，
又f（2）=2³-3×2=2
故曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为：
y-2=9（x-2），
即9x-y-16=0．

点评：本题考察了利用导数求函数的单调性，求函数的不等式问题，求曲线的切线方程问题，本题是一道基础题．