Question

设函数f（x）=（x²-x-1）e^-x．
（1）求f（x）的单调区间和极值；
（2）关于x的方程f（x）=a在区间[-1，4]上有两个根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出函数的导数，令f′（x）=0，从而得到函数的单调区间和极值；（2）由题知，只需要函数y=f（x） 和函数y=a 的图象有两个交点即可．

解答： 解：（1）f'（x）=-x（x-3）e^-x，由f'（x）=0，解得x=0或3，
则x，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，3）	3	（3，+∞）
f’（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘	极小值-1	↗	极大值5e-3	↘

由上表得，f（x）的单调增区间为（0，3），单调减区间为（-∞，0），（3，+∞）；
当x=0时f（x）有极小值-1，当x=3时，f（x）有极大值5e^-3．
（2）由题知，只需要函数y=f（x） 和函数y=a 的图象有两个交点即可．
∵（f（-1）=e，f（4）=11e^-4，
∴f（-1）＞f（3）＞f（4）＞f（0）
由（1）知f（x）在，当[-1，0）上单调递减，（0，3）上单调递增，在（3，4]在上单调递减．
∴当a=5e^-3或-1＜a＜11e^-4时，y=f（x） 和y=a 的图象有两个交点．
即方程f（x）=a在区间[-1，4]上有两个根．

点评：本题考察了利用导数研究函数的单调性，函数的极值问题，本题渗透了转化思想，是一道基础题．