Question

已知定义在R上的函数f（x）=-2x³+bx²+cx（b，c∈R），函数F（x）=f（x）-3x²是奇函数，函数f（x）满足f′（-1）=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）讨论f（x）在区间（-3，3）上的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数的奇偶性和导数公式，求出b，c的值，即可求f（x）的解析式；
（2）求出函数的导数，利用导数和单调性之间的关系，即可得到（x）在区间（-3，3）上的单调性．

解答： 解：（1）∵f（x）=-2x³+bx²+cx，
∴f'（x）=-6x²+2bx+c．
F（x）=f（x）-3x²是奇函数，得b=3，
f'（-1）=-6-2b+c=0，得c=12，
∴f（x）-2x³+3x²+12．
（2）令f'（x）=-6x²+6x+12=0得x=2或-1

x	（-3，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，3）
f′（x）	-	0	+	0	-

∴单调递增区间为（-1，2），单调递减区间为（-3，-1），（2，3）．

点评：本题主要考查函数解析式和函数单调性的判断，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．