Question

已知矩阵A=

1 c

   

b 4

（b，c为实数）．若矩阵A属于特征值2的一个特征向量为

2 1

．
（Ⅰ）求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）求直线x+y-1=0在矩阵A^-1对应的变换作用下得到的直线方程．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）利用矩阵A属于特征值2的一个特征向量为

2 1

，求出矩阵A，再求矩阵A的逆矩阵A^-1；
（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），确定坐标之间的关系，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵矩阵A属于特征值2的一个特征向量为

2 1

，
∴

1 c

   

b 4

2 1

=2

2 1

，
∴b=2，c=-1，
∴A=

1 2 -1 4

，
∴A^-1=

2 3 - 1 3 1 6 1 6

；
（Ⅱ）设点（x，y）是直线x+y-1=0上任一点，其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），
则

2 3 - 1 3 1 6 1 6

x y

=

x′ y′

，
∴

x′= 2 3 x- 1 3 y y′= 1 6 x+ 1 6 y

，
∴

x=x′+2y′ y=-x′+4y′

，
∴x′+2y′-x′+4y′-1=0，
∴6y′-1=0，
即6y-1=0．

点评：本题考查矩阵的特征向量和特征值的应用，本题的运算量较小，并且考查最基本的矩阵问题，在高考中若出现是一个送分题目．属于基础题．