Question

已知曲线C：f（x）=x³-x
（Ⅰ）试求曲线C在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）试求与直线y=5x+3平行的曲线C的切线方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,直线的一般式方程与直线的平行关系

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率和切点，由点斜式写出直线方程；
（Ⅱ）设出切点，求出切线的斜率，由两直线平行的条件得，切点的坐标，应用点斜式方程写出切线方程，并化为一般式方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=x³-x，∴f（1）=0，
求导数得：f'（x）=3x²-1，
∴切线的斜率为k=f'（1）=2．
∴所求切线方程为y=2（x-1），即：2x-y-2=0．
（Ⅱ）设与直线y=5x+3平行的切线的切点为（x₀，y₀），
则切线的斜率为k=f′(x0)=3x02-1，
又∵所求切线与直线y=5x+3平行，∴3x02-1=5．
解得：x0=±

2

，
代入曲线方程f（x）=x³-x得：切点为(

2

，

2

)或(-

2

，-

2

)，
∴所求切线方程为：y-

2

=5(x-

2

)或y+

2

=5(x+

2

)
即：5x-y-4

2

=0或5x-y+4

2

=0．

点评：本题主要考查导数的概念及应用：求切线方程，同时考查两直线平行的条件，是一道基础题．