Question

已知函数f（x）=x²-4x+a+3，g（x）=mx+5-2m，（m∈R，A∈R）
（Ⅰ）求函数y=f（x）在区间[a，a+1]上的最小值；
（Ⅱ）当a=0时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[1，4]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分别对a≥2，a＜2＜a+1，a+1≤2，三种情况讨论，根据对称轴的位置确定函数的最小值的表达式．
（2）对m＞0，m＜0时根据二次函数的性质确定m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）的对称轴为x=2，
当a≥2时，函数f（x）_min=f（a）=a²-3a+3，
当a＜2＜a+1，即1＜a＜2时，f（x）_min=f（2）=a-1，
当a+1≤2，即a≤1时，f（x）_min=f（a+1）=a²-a，
（2）当a=0时，f（x）=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴当x∈[1，4]时，f（x）∈[1，3]，记A=[1，3]，
由题意，m≠0，
当m＞0时，g（x）=mx+5-2m，在[1，4]上 增函数，
∴g（x）∈[5-m，5+2m]，记B=[5-m，5+2m]．
由题意知A⊆B，
∴

-1≥5-m 3≤5+2m m＞0

，求得m≥6，
当m＜0时，g（x）=mx+5-2m在[1，4]上是减函数，
∴g（x）∈[5+2m，5-m]，记C=[5+2m，5-m]，
由题意，知A⊆C，
∴

-1≥5+2m 3≤5-m m＜0

，解得m≤-3，
综上所述，m的取值范围为（-∞，3]∪[6，+∞）．

点评：本题主要考查了二次函数的性质．解题的关键是对函数对称轴，开口方向，顶点等问题的关注．