Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+a²（a，b∈R）
（1）若函数f（x）在x=1处有极值为10，求b的值；
（2）对任意a∈[-1，+∞），f（x）在区间（0，2）单调增，求b的最小值；
（3）若a=1，且过点（-2，0）能作f（x）的三条切线，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依题意：f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②由①②解得：

a=4 b=-11

，或

a=-3 b=3

；从而当

a=4 b=-11

时函数f（x）在x=1处有极小值故b=-11，
（2）f′（x）=3x²+2ax+b≥0对?a∈[-1，+∞），x∈（0，2）恒成立记h（a）=3x²+2ax+b=（2x）a+3x²+b，从而h（a）_min=h（-1）≥0又设H（x）=3x²-2x+b，进而求出b≥

1

3

，
（3）当a=1时，f（x）=x³+x²+bx+1，从而切线斜率为f′（x₀）=3x02+2x₀+b=

f(x0)

x0+2

，由2x03+7x02+4x₀+2b-1=0，记F（x₀）=2x03+7x02+4x₀+2b-1，过点（-2，0）能作f（x）三条切线等价于F（x₀）有三个零点，而F′（x₀）=6x02+14x₀+4=2（3x₀+1）（x₀+2），找到单调区间，得出不等式组，解出b的范围即可．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，依题意：
f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②
由①②解得：

a=4 b=-11

，或

a=-3 b=3

；
经检验当

a=-3 b=3

时无极值点，
当

a=4 b=-11

时函数f（x）在x=1处有极小值，故b=-11，
（2）f′（x）=3x²+2ax+b≥0对?a∈[-1，+∞），当x∈（0，2）恒成立
记h（a）=3x²+2ax+b=（2x）a+3x²+b，
∴h（a）_min=h（-1）=3x²-2x+b≥0
又设H（x）=3x²-2x+b，
当x∈（0，2）时H（x）_min=H（

1

3

）=-

1

3

+b≥0，
b≥

1

3

，
∴b的最小值为

1

3

，
（3）：当a=1时，f（x）=x³+x²+bx+1，
设切点为P（x₀，y₀），
则切线斜率为f′（x₀）=3x02+2x₀+b=

f(x0)

x0+2

，
∴2x03+7x02+4x₀+2b-1=0，
记F（x₀）=2x03+7x02+4x₀+2b-1，
过点（-2，0）能作f（x）三条切线等价于F（x₀）有三个零点
F′（x₀）=6x02+14x₀+4=2（3x₀+1）（x₀+2）

x0	（-∞，-2）	（-2，- 1 3 ）	（- 1 3 ，+∞）
F′（x0）	正	负	正
F（x0）	增	减	增

令

F(-2)＞0 F(- 1 3 )＜0

，
即

2b+3＞0 2b- 44 27 ＜0

，
∴b∈（-

3

2

，

22

27

）．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，渗透了中思想，是一道综合题．