Question

已知椭圆C方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其长轴长为4，M（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，F（c，0）是椭圆的右焦点．
（1）证明：|MF|=2-

c

2

x₀；
（2）不过焦点F的直线l与圆x²+y²=b²相切于点Q，并与椭圆C交于A，B两点，且直线l和切点Q都在y轴的右侧，则△ABF的周长是否为定值，若是求出该定值，不是请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由2a=4，可得a=2．由于M（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，可得

x 2 0

4

+

y 2 0

b2

=1，

y

2 0

=b2-

b2

4

x

2 0

，利用两点之间的距离公式可得|MF|=

(x0-c)2+ y 2 0

=

( c 2 x0-2)2

，即可证明；
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），连接OA，OQ，在△OAQ中，利用切线的性质和勾股定理可得|AQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

-b2，又

y

2 1

=b2-

b2

4

x

2 1

，可得|AQ|2=

c2

4

x

2 1

，即|AQ|=

c

2

x1，同理，|BQ|=

c

2

x2，|AB|=|AQ|+|BQ|=

c

2

(x1+x2)，再利用（I）d的结论即可得出|AB|+|AF|+|BF|=4．

解答： （I）证明：∵2a=4，∴a=2．
∵M（x₀，y₀）是椭圆C上任意一点，
∴

x 2 0

4

+

y 2 0

b2

=1，
∴

y

2 0

=b2-

b2

4

x

2 0

，
∴|MF|=

(x0-c)2+ y 2 0

=

(1- b2 4 ) x 2 0 -2cx0+c2+b2

=

c2 4 x 2 0 -2cx0+4

=

( c 2 x0-2)2

，
∵-2≤x₀≤2，且c＜2，
∴|MF|=2-

c

2

x₀；
（II）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（x₁＞0，x₂＞0），
连接OA，OQ，在△OAQ中，|AQ|2=

x

2 1

+

y

2 1

-b2，
∵

y

2 1

=b2-

b2

4

x

2 1

，
∴|AQ|2=1-

b2

4

x

2 1

=

c2

4

x

2 1

，
∴|AQ|=

c

2

x1，
同理，|BQ|=

c

2

x2，
∴|AB|=|AQ|+|BQ|=

c

2

(x1+x2)，
∴|AB|+|AF|+|BF|=

c

2

(x1+x2)+2-

c

2

x1+2-

c

2

x2=4．
∴△ABF的周长是定值4．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、勾股定理、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．