Question

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值，求函数f（x）以及f（x）的极大值和极小值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：先求出函数的导数，由题意得方程组解出a，b的值，从而求出函数的不等式，得到单调区间，求出极值．

解答： 解：∵f′（x）=3ax²+2bx-3，
依题意，f′（1）=f′（-1）=0，
即：

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

；
解得：a=1，b=0；
∴f（x）=x³-3x，
∴f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′x）=0，
解得x=-1或x=1，
当x变化时，f′（x）与f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=2，在x=1处取得极小值f（1）=-2．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的极值问题，导数的应用，是一道基础题．