Question

已知函数f（x）=

3

sin（ωx+φ）-cos（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象过点（0，2），且函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）当x∈[

π

6

，

5π

6

]时，求函数f（x）的值域；
（2）设g（x）=f（x+

π

6

），求函数g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,正弦函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：（1）将（0，2）代入f（x）计算求出φ的度数，再根据函数y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，确定出ω的值，即可确定出函数解析式；
（2）根据f（x）确定出g（x）解析式，利用余弦函数的单调性即可确定出g（x）的单调区间．

解答： 解：（1）将（0，2）代入得：2=

3

sinφ-cosφ=2sin（φ-

π

6

），即sin（φ-

π

6

）=1，
∵0＜φ＜π，
∴φ-

π

6

=

π

2

，即φ=

2π

3

，
∴f（x）=

3

sin（ωx+

2π

3

）-cos（ωx+

2π

3

）=2sin（ωx+

2π

3

-

π

6

）=2sin（ωx+

π

2

）=2cosωx，
∵y=f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

，
∴函数最小正周期为π，
∴ω=2，
则函数解析式为f（x）=2cos2x；
（2）g（x）=f（x+

π

6

）=2cos2（x+

π

6

）=2cos（2x+

π

3

），
令2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，k∈Z，解得：-

2π

3

+kπ≤x≤-

π

6

+kπ，k∈Z，
令2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，k∈Z，解得：-

π

6

+kπ≤≤

π

3

+kπ，k∈Z，
则g（x）的单调递增区间为[-

2π

3

+kπ，-

π

6

+kπ]，k∈Z；递减区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈Z．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．