Question

设

a

、

b

是两个不共线的非零向量（t∈R）．
（1）记

OA

=

a

，

OB

=t

b

，

OC

=

1

3

（

a

+

b

），那么当实数t为何值时，A，B，C三点共线？
（2）若|

a

|=|

b

|=1且

a

与

b

夹角为120°，那么实数x为何值时，|

a

+x

b

|的值最小？

Answer 1

考点：数量积表示两个向量的夹角,向量的模,平行向量与共线向量

专题：平面向量及应用

分析：（1）由A、B、C三点共线可得

AB

=λ

AC

，即-

a

+t

b

=-

2

3

λ

a

+

1

3

λ

b

，再根据 

-1=- 2 3 λ t= 1 3 λ

，解得t的值．
（2）由条件求得

a

•

b

=-

1

2

，再根据|

a

+x

b

|²=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，可得|

a

-x

b

|的最小值．

解答： 解：（1）∵A、B、C三点共线，∴

AB

=λ

AC

，∴-

a

+t

b

=λ（-

2

3

a

+

1

3

b

）=-

2

3

λ

a

+

1

3

λ

b

，
∴

-1=- 2 3 λ t= 1 3 λ

，解得 t=

1

2

．
（2）∵|

a

|=|

b

|=1，＜

a

，

b

＞=120°，∴

a

•

b

=-

1

2

，
∴|

a

+x

b

|²=|

a

|²+x²|

b

|²-2x•

a

•

b

=1+x²+x=（x-

1

2

）²+

3

4

≥

3

4

，
∴|

a

-x

b

|的最小值为

3

2

，此时x=

1

2

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量共线的性质，求向量的模，属于基础题．