Question

已知甲箱中有4个红球和2个黑球，乙箱中有3个红球和2个黑球，这些球除颜色外，完全相同，现从甲、乙两个箱中各任取2个球．
（Ⅰ）求取出的4个球均为红球的概率；
（Ⅱ）求取出的4个球中恰有3个黑球的概率；
（Ⅲ）设ξ为取出的4个球中，黑球的个数，求ξ的分布列和数字期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,二项式系数的性质

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设“从甲箱内取出的2个球均为红球”为事件A，“从乙箱内取出2个球均为红球”为事件B，由事件A与B相互独立，由此能求出取出的个球均为红球的概率．
（Ⅱ）设“从甲箱中取出的2个球均为黑球，从乙箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，从乙箱中取出的2个球均为黑球”为事件D，由事件C、D互斥，能坟出取出的4个球中恰有1个红球的概率．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数字期望．

解答： 解：（Ⅰ）设“从甲箱内取出的2个球均为红球”为事件A，
“从乙箱内取出2个球均为红球”为事件B，
则P（A）=

C 2 4

C 2 6

=

2

5

，P（B）=

C 2 3

C 2 5

=

3

10

，
∵事件A与B相互独立，∴P（A）P（B）=

2

5

×

3

10

=

3

25

，
∴取出的个球均为红球的概率为

3

25

．
（Ⅱ）设“从甲箱中取出的2个球均为黑球，
从乙箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C，
“从甲箱中取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球，
从乙箱中取出的2个球均为黑球”为事件D，
则P（C）=

C 2 2

C 2 6

•

C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

3

75

，P（D）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

•

C 2 2

C 2 5

=

4

75

，
∵事件C、D互斥，∴取出的4个球中恰有1个红球的概率：
p=

3

75

+

4

75

=

7

75

．
（Ⅲ）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，
由（Ⅰ），（Ⅱ）得P（ξ=0）=

3

25

，P（ξ=3）=

7

75

，
P（ξ=1）=

C 1 2 C 1 4

C 2 6

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 6

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

2

5

，
P（ξ=2）=

1

C 2 6

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 6

•

1

C 2 5

+

C 1 4 C 1 2

C 2 6

•

C 1 2 C 1 3

C 2 5

=

57

150

，
P（ξ=4）=

1

C 2 6

•

1

C 2 5

=

1

150

，
ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3	4
P	3 25	2 5	57 150	7 75	1 150

Eξ=0×

3

25

+1×

2

5

+2×

57

150

+3×

7

75

+4×

1

150

=

4

5

．

点评：本题考查随机事件的概率的求法，以及求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，是中档题．