Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax（a∈R）
（1）若f（x）为R上的单调递增函数，求a的值；
（2）若x∈[1，3]时，f（x）的最小值为4，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数导数，利用函数单调性和导数之间的关系，得到f′（x）≥0恒成立．即可求a的值；
（2）根据函数的最值之间的关系，讨论a，利用f（x）的最小值为4，建立方程关系，即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，
∴f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
若f（x）为R上的单调递增函数，则f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a≥0恒成立，
即x²-（a+1）x+a≥0恒成立，
则△=（a+1）²-4a≤0，即（a-1）²≤0，
解得a=1．
（2）f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
若a≤1，f′（x）≥0函数在[1，3]上单调递增，
函数f（x）的最小值为f（1）=2≠4，此时不成立．
若a＞1，函数的在（1，a）上单调递减，（a，+∞）上单调递增，
若1＜a≤3，则函数在f（a）取得最小值4，
即f（a）=2a³-3（a+1）a²+6a²=4，
即3a²-a³=4，则（a+1）（a-2）²=0，解得a=2，满足条件．
若a＞3，函数的在[1，3]上单调递减，
则最小值为f（3）=2×3³-3（a+1）×3²+6a×3=4，解得a=

23

9

＜3不成立，
综上：a=2．

点评：本题主要考查函数的单调性，最值与单调性之间的关系，注意要进行分类讨论．