Question

定义在R上的函数f（x）=

1

3

x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）在x=±1处有极值，且其图象过点（0，3）
（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式：
（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x）+4lnx-6x+1，若函数y=g（x）的图象与直线y=m有三个不同的交点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,函数解析式的求解及常用方法

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=x²+2bx+c，得：

1-2b+c=0 1+2b+c=0

，解得：b=0，c=-1，把b=0，c=-1，点（0，3）代入函数不等式，从而函数的不等式为：f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，因此g（x）=x²+4lnx-6x，（x＞0），通过求导得出g（x）_极大值=g（1）=-5，g（x）_极小值=g（2）=4ln2-8，从而m的范围是：{m|4ln2-8＜m＜-5}．

解答： 解；（Ⅰ）∵f′（x）=x²+2bx+c，
由题意得：

1-2b+c=0 1+2b+c=0

，
解得：b=0，c=-1，
把b=0，c=-1，点（0，3）代入函数不等式，
解得：d=3，
∴f（x）=

1

3

x³-x+3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=x²-1，
∴g（x）=x²+4lnx-6x，（x＞0）
∴g′（x）=2x+

4

x

-6，
当g′（x）＞0时，解得：x＞2，或x＜1，
当g（x）＜0时，解得：1＜x＜2，
∴g（x）在（-∞，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减，
∴g（x）_极大值=g（1）=-5，g（x）_极小值=g（2）=4ln2-8，
∴m的范围是：{m|4ln2-8＜m＜-5}．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，函数的交点问题，渗透了数形结合思想，是一道综合题．