Question

已知数列{a_n}前n项的和S_n=

1

2

n²+

1

2

n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知n∈N^*，证明：2a₁+4a₂+8a₃+…+2ⁿa_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

Answer 1

考点：数学归纳法,等差数列的通项公式,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）利用公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，由S_n=-2n²+3n，能够求出数列{a_n}的通项公式．
（2）用数学归纳法证明的步骤证明，验证n=1时等式成立，然后假设n=k（k≥2，k∈N^*）时，等式成立，证明n=k+1时等式也成立即可．

解答： 解：（1）∵S_n=

1

2

n²+

1

2

n，
∴a₁=S₁=

1

2

×12+

1

2

×1=1，
a_n=S_n-S_n-1=（

1

2

n²+

1

2

n）-[

1

2

（n-1）²+

1

2

（n-1）]
=n．
当n=1时，a₁=1，
∴a_n=n，
（2）证明：（数学归纳法）
①当n=1时，等式左边=2a₁=2，右边=（1-1）2¹⁺¹+2=2，等式成立．
②假设当n=k（k≥2，k∈N^*）等式也成立，即2a₁+4a₂+8a₃+…+2^ka_k=（k-1）2^k+1+2
当n=k+1时，2a₁+4a₂+…+2^ka_k+2^k+1a_k+1=（k-1）2^k+1+2+2^k+1（k+1）=2k2^k+1+2=（k+1-1）2^k+2+2，
这就是说，n=k+1时等式也成立．
由①②可知，对任意的n≥2，n∈N^*，原等式均成立．

点评：本题（1）考查数列的通项公式的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意公式a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，的灵活运用．（2）考查数学归纳法的证明步骤和方法，注意证明n=k+1时，必须用上假设，这是易错点．