Question

如图，多面体ABCPQ中，PA⊥平面ABC，PA=AB，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，△QBC是等边三角形，M是BC的中点，二面角Q-BC-A的正切值为-

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（Ⅰ）证明：PQ∥平面ABC；
（Ⅱ）在线段QM上是否存在一点N，使得PN⊥平面QBC，如果存在，请求出N点的位置，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）过点Q做平面ABC的垂线，垂足是H，连结HB，HC，先证明出∠QMH是平面QBC与平面ABC所成的锐二面角，通过已知条件求得PA∥QH且PA=QH，判断出四边形AHQP为矩形，证明出PQ∥AH，最后利用线面平行的判定定理即可．
（Ⅱ）连结PH交QM与N，先证明出BC⊥PN，进而根据三角形相似求得PN⊥QM，利用线面垂直的判定定理证明出PN⊥平面QBC，利用三角形相似的比例关系求得MN=

1

3

MQ．

解答： （Ⅰ）证明：过点Q做平面ABC的垂线，
垂足是H，连结HB，HC，
∵QB=QC，
∴HB=HC，
∴HM⊥BC，
又QM⊥BC，
∴∠QMH是平面QBC与平面ABC所成的锐二面角，
且A，M，H共线，tan∠QMH=

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，cos∠QMH=

1

3

，sin∠QMH=

2

3

，
设AC=PA=a，则BC=

2

a，QM=

3

2

•

2

a，HQ=

3

2

•

2

a•

2

3

=a=PA，
又PA∥QH，
∴四边形AHQP为矩形，
∴PQ∥AH，
∵AH?平面ABHC，
∴PQ∥平面ABC．
（Ⅱ）线段QM上存在一点N，使得PN⊥平面QBC，且MN=

1

3

MQ，理由如下：
连结PH交QM与N，
BC⊥HM，BC⊥MQ，
∴BC⊥平面QHAP，
∵PN?平面QHAP，
∴BC⊥PN，
矩形PAHQ中，∵M是中点，
∴PA=a，AH=

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a，
∴△NMH∽△HPA，
∴∠PHA+∠HMN=90°，
∴PN⊥QM，
又△HNM∽△QHM，
∴MN=

1

3

MQ．

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理．考查了学生基础知识的综合运用．