Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）．
（1）证明数列{

1

an

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer 1

考点：等差关系的确定,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据等差数列的定义即可证明数列{

1

an

}是等差数列；
（2）根据（1），即可求数列{a_n}的通项．

解答： 解：（1）证明：将3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2），
即a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
则

an-1-an

anan-1

=

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．
所以数列{

1

an

}是以1为首项，3为公差的等差数列．
（2）由（1）可得

1

an

=1+3（n-1）=3n-2，
所以a_n=

1

3n-2

．

点评：本题主要考查等差数列的判断和通项公式的应用，要求熟练掌握相应的公式．