【题目】如图,在菱形中,
,
平面
,
,
是线段
的中点,
.
(1)证明:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析.
(2) .
【解析】试题分析:(1)设AC与BD的交点为O,连接MO可证明平面
、
平面
,从而可得平面
平面
,进而可得
平面
;(2)取
的中点为
,连接
,则
,以
为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系,求出直线
的方向向量,利用向量垂直数量积为零解方程组求出平面
的法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得直线
与平面
所成角的正弦值.
试题解析:(1)设与
的交点为
,连接
.因为
,
平面
,所以
平面
.
因为是线段
的中点,所以
是
的中位线,所以
.
又,所以
平面
所以,平面平面
.
故平面
.
(2)取的中点为
,连接
,则
.
以为坐标原点,分别以
,
,
为
轴,
轴,
轴建立空间直角坐标系.取
,则
,
,
,
.
所以,
.
设平面的法向量
,则
,即
,解得
.
可取法向量.
又,则
故直线与平面
所成角的正弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、直线和平面成的角的定义及求法、利用等积变换求三棱锥体积,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆C:x2+y2﹣4x+3=0,过原点的直线l与圆C有公共点.
(1)求直线l斜率k的取值范围;
(2)已知O为坐标原点,点P为圆C上的任意一点,求线段OP的中点M的轨迹方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(多选题)对任意实数,
,
,下列命题中正确的是( )
A.“”是“
”的充要条件
B.“是无理数”是“
是无理数”的充要条件
C.“”是“
”的充分条件
D.“”是“
”的必要条件
E.“”是“
”的必要条件
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】图甲中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律、对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述错误的是( )
A. 捕食者和被捕食者数量与时间以年为周期
B. 由图可知,当捕食者数量增多的过程中,被捕食者数量先增多后减少
C. 捕食者和被捕食者数量之间的关系可以用图1乙描述
D. 捕食者的数量在第年和
年之间数量在急速减少
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的极坐标方程为ρ=4sin(θ+
).
(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;
(2)若直线l与曲线C交于M,N两点,求△MON的面积.
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