【题目】已知函数。
(1)若函数的一个极值点为,求的单调区间;
(2)若,且关于的不等式恒成立,求实数的取值范围。
【答案】(1) 的单调递增区间为,的单调递减区间为。(2)
【解析】
(1)根据函数的极值点,求得的值,得到函数解析式,利用导数的符号,即可求得函数的单调区间;
(2)当时,符合题意,
当时, ,该方程有一正一负根,即存在,使得在上单调递减,在上单调递增,结合,求得的取值范围,即可求得的范围.
(1)依题可知函数的定义域为,且,
因为 函数的一个极值点为,所以,即,得,
经检验,符合题意,所以,
所以,
令,即,解得,
令即,解得,
所以的单调递增区间为,的单调递减区间为.
(2)当时,符合题意,
当时,,令,
因为,所以,则该方程有两不同实根,且一正一负,
即存在,使得,
可知时,,时,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,
所以,即,
因为在上单调递增,且时,,所以,
由,得,
设,则,故在上单调递减,
所以,即为的范围,
综上所述,实数的取值范围是.
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【题目】如图,已知矩形中,,为边的中点,将沿直线翻折成,若是线段的中点,则在翻折过程中,下列命题:
①线段的长是定值;
②存在某个位置,使;
③点的运动轨迹是一个圆;
④存在某个位置,使得面.
正确的个数是()
A. B. C. D.
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【题目】2018年中央电视台春节联欢晚会分会场之一落户黔东南州黎平县肇兴侗寨,黔东南州某中学高二社会实践小组就社区群众春晚节目的关注度进行了调查,随机抽取80名群众进行调查,将他们的年龄分成6段: ,,,, , ,得到如图所示的频率分布直方图.问:
(Ⅰ)求这80名群众年龄的中位数;
(Ⅱ)若用分层抽样的方法从年龄在中的群众随机抽取6名,并从这6名群众中选派3人外出宣传黔东南,求选派的3名群众年龄在的概率.
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【题目】通过随机询问50名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列联表,由得
参照附表,得到的正确结论是
A. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B. 有99.5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关”
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【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系,在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明:在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心,另外15人比较粗心;在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心,另外30人比较粗心.
(I)试根据上述数据完成列联表:
(II)能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系?
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参考公式:,其中.
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【题目】已知函数.
(1)当时,求函数在上的最大值;
(2)令,若在区间上为单调递增函数,求的取值范围;
(3)当 时,函数 的图象与轴交于两点 ,且 ,又是的导函数.若正常数 满足条件.证明:.
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