Question

【题目】已知圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，过原点的直线l与圆C有公共点．

（1）求直线l斜率k的取值范围；

（2）已知O为坐标原点，点P为圆C上的任意一点，求线段OP的中点M的轨迹方程．

Answer 1

【答案】(1)；(2) 4x2+4y2﹣8x+3＝0．

【解析】

（1）根据直线与圆有交点时圆心到直线的距离小于等于半径，列出不等式求解出的取值范围；

（2）设出的坐标，根据中点关系用未知表示已知，即可得到满足的关系式即为的轨迹方程.

（1）由x2+y2﹣4x+3＝0，得(x﹣2)2+y2＝1，

直线l过原点，可设其方程为y＝kx，

∵直线l与圆C有公共点，

∴1，解得；

（2）设M(x，y)，P(x1，y1)，

∵M为OP的中点，∴x1＝2x，y1＝2y，

代入圆C：x2+y2﹣4x+3＝0，得(2x)2+(2y)2﹣4×2x+3＝0，

即4x2+4y2﹣8x+3＝0．