Question

【题目】在集合中，任取个元素构成集合. 若的所有元素之和为偶数，则称为的偶子集，其个数记为；若的所有元素之和为奇数，则称为的奇子集，其个数记为. 令

(1)当 时，求的值；

(2)求.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）

【解析】

试题（1）第一小问是具体理解及时定义：当时，集合为，当时，偶子集有，奇子集有，，；同理可得，，（2）从具体到一般，是归纳：当为奇数时，偶子集的个数等于奇子集的个数，；当为偶数时，偶子集的个数，奇子集的个数，

涉及两个组合数相乘：构造二项展开式，比较对应项的系数

试题解析：解（1）当时，集合为，

当时，偶子集有，奇子集有，，；

当时，偶子集有，奇子集有，

，；

当时，偶子集有，奇子集有，

，；

（2）当为奇数时，偶子集的个数，

奇子集的个数，

所以．

当为偶数时，偶子集的个数，

奇子集的个数，

所以

．

一方面，

所以中的系数为

；

另一方面，，中的系数为，

故．

综上，