Question

已知奇函数g(x)=

ax+b

x2+a

(a∈N*，b∈R)的定义域为R，且恒有g(x)≤

1

2

．
（1）求a，b的值；
（2）写出函数y=g（x）在[-1，1]上的单调性，并用定义证明；
（3）讨论关于x的方程g（x）-t=0（t∈R）的根的个数．

Answer 1

分析：（1）由g（x）为奇函数且函数的定义域为R，可知a＞0且g（0）=0可求b，然后由g(x)≤

1

2

恒成立，结合二次函数性质及a∈N^*可求a
（2）可先证明g（x）=

x

x2+1

，x∈[0，1]上的单调性，然后根据奇函数对称区间上的单调性一致可知，且g（0）=0，则可判断g（x）在[-1，0）上单调性
（3）由（2）的函数的单调性可求g（x）的值域，即可判断方程的根的个数

解答：解：（1）∵g（x）为奇函数且函数的定义域为R，
∴a＞0且g（0）=

b

a

=0
∴b=0，故有g（x）=

ax

x2+a

∵g(x)≤

1

2

恒成立即

ax

x2+a

≤

1

2

恒成立
整理可得，x²-2ax+a≥0恒成立
∴△=4a²-4a≤0
解可得，0＜a≤1
∵a∈N^*
∴a=1
（2）g（x）在[-1，1]上单调递增，证明如下
z证明：由（1）可得，g（x）=

x

x2+1

，x∈[-1，1]
设0≤x₁＜x₂≤1
则g（x₁）-g（x₂）=

x1

x12+1

-

x2

x22+1

=

x1(x22+1)-x2(x12+1)

(x12+1)(x22+1)

=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

∵0≤x₁＜x₂≤1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0，1+x12＞0，1+x22＞0
则g（x₁）-g（x₂）=

(x1-x2)(1-x1x2)

(x12+1)(x22+1)

＜0
即g（x₁）＜g（x₂）
∴g（x）在[0，1]上单调递增
根据奇函数对称区间上的单调性一致可知，且g（0）=0，则可得g（x）在[-1，0）上单调递增
综上可得，g（x）在[-1，1]上单调递增
（3）由（2）可得，-

1

2

≤g(x)≤

1

2

①当t＞

1

2

或t＜-

1

2

时，方程g（x）-t=0没有实数根
②当-

1

2

≤t≤

1

2

时，方程g（x）-t=0有1根实数根

点评：题主要考查方程的根的存在性及个数判断，求函数的解析式和单调区间，函数的奇偶性的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．