Question

如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，且PC⊥平面ABCD，PC＝AC＝2,E是PA的中点。
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)若直线PA与平面PBC所成角为30°，求二面角P-AD-C的正切值；
(3)求证：直线PA与平面PBD所成的角φ为定值，并求sinφ值。

Answer 1

（1）见解析       (2) tan∠PDC =  (3) sinφ=

（1）设CA与BD相交于O，连EO，
由底面ABCD是菱形得O是中点，且CA⊥BD，
E是PA的中点，得OE//PC
∵ PC⊥平面ABCD，∴OE⊥平面ABCD
∴ OE⊥AC
∴ AC⊥面BDE 
（2）由上知，建立如图坐标系，设BD＝2a;

设平面的法向量为
,令x=1得
由题意PA与面PBC所成角为30°，得：得a=1。
解法一：当a=1时，底面ABCD是正方形，AD⊥CD
∵ PC⊥平面ABCD
∴ PC⊥AD
∴ AD⊥面PCD
则PD⊥AD
∠PDC是二面角P-AD-C的平面角，且tan∠PDC =解法二：当a=1时，
面ACD的法向量为（0,0,1），设面PAD的法向量为

令x=1,则
二面角P-AD-C的平面角为锐角θ，cosθ=,tanθ=(3)设面PBD的法向量为

令z=1得
则sinφ=为定值。