【题目】设直线与椭圆相交于,两个不同的点,与轴相交于点,为坐标原点.
(1)证明:;
(2)若,求的面积取得最大值时椭圆的方程.
【答案】(1).
(2)的面积取得最大值时椭圆的方程是.
【解析】
(1)设直线l的方程为y=k(x+1),将直线的方程代入抛物线的方程,消去x得到关于y的一元二次方程,再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0,从而解决问题;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得,由=3得y2=,从而求得△OAB的面积,最后利用基本不等式求得其最大值及取值最大值时的k值,从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程可求.
(1)依题意,直线显然不平行于坐标轴,故可化为.
将代入,消去,
得,①
由直线与椭圆相交于两个不同的点,
,整理得.
(2)设,.由①,得,
因为,得,代入上式,得.
于是,的面积,
其中,上式取等号的条件是,即.
由,可得.
将,及,
这两组值分别代入①,均可解出.
所以,的面积取得最大值时椭圆的方程是
.
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【题目】某人经营一个抽奖游戏,顾客花费元钱可购买一次游戏机会,每次游戏中,顾客从装有个黑球,个红球,个白球的不透明袋子中依次不放回地摸出个球(除颜色外其他都相同),根据摸出的球的颜色情况进行兑奖.顾客获得一等奖、二等奖、三等奖、四等奖时分别可领取奖金元,元、元、元.若经营者将顾客摸出的个球的颜色情况分成以下类别::个黑球,个红球;:个红球;:恰有个白球;:恰有个白球;:个白球,且经营者计划将五种类别按照发生机会从小到大的顺序分别对应中一等奖、中二等奖、中三等奖、中四等奖、不中奖五个层次.
(1)请写出一至四等奖分别对应的类别(写出字母即可);
(2)若经营者不打算在这个游戏的经营中亏本,求的最大值;
(3)若,当顾客摸出的第一个球是红球时,求他领取的奖金的平均值.
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【题目】学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在40分钟的一节课中,注意力指数y与听课时间x(单位:分钟)之间的关系满足如图所示的图象,当x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点A(10,80),过点B(12,78);当x∈[12,40]时,图象是线段BC,其中C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于62时,学习效果最佳.
(1)试求y=f(x)的函数关系式;
(2)教师在什么时段内安排内核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由.
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【题目】某工厂修建一个长方体无盖蓄水池,其容积为4 800立方米,深度为3米.池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元.设池底长方形长为x米.
(1)求底面积,并用含x的表达式表示池壁面积;
(2)怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
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