【题目】设函数 ,且为的极值点.
(Ⅰ) 若为的极大值点,求的单调区间(用表示);
(Ⅱ)若恰有1解,求实数的取值范围.
【答案】
因为为的极值点,所以
所以且,……………3分
(1)因为为的极大值点,所以
当时,;当时,;当时,
所以的递增区间为,;递减区间为.…………6分
(2)若,则在上递减,在上递增
恰有1解,则,即,所以;…………9分
若,则,
因为,则
,从而恰有一解; ……………12分
若,则
,从而恰有一解;
所以所求的范围为.
【解析】
(1)由,知,由x=1为f(x)的极值点,知.由x=1为f(x)的极大值点,知c>1.由此能求出f(x)的单调区间.
( II)若c<0,则f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增f(x)=0恰有1解,则f(1)=0,实数c的取值范围.
,又,
则,所以且.
(1)因为为)的极大值点,所以,
当时,;当时,;
当时,,
所以的单调递增区间为,;单调递减区间为.
(2)①若,则在上单调递减,在上单调递增,
恰有两解,则,则,
所以;
②若,则,,
因为,则,
,从而只有一解;
③若,则,
,则只有一解.
综上,使恰有两解的的取值范围为.
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【题目】(1)正方体的棱长扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的______倍,体积扩大到原来的______倍;
(2)球的半径扩大到原来的n倍,则其表面积扩大到原来的_____倍,体积扩大到原来的_______倍.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴.已知曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,射线与曲线分别交异于极点的四点.
(1)若曲线关于曲线对称,求的值,并把曲线和化成直角坐标方程;
(2)求的值.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中组小鼠给服甲离子溶液,组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于”,根据直方图得到的估计值为.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线和直线在该直角坐标系下的普通方程;
(2)动点在曲线上,动点在直线上,定点的坐标为,求的最小值.
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【题目】某小组为了研究昼夜温差对一种稻谷种子发芽情况的影响,他们分别记录了4月1日至4月5日的每天星夜温差与实验室每天每100颗种子的发芽数,得到如下资料:
日期 | 4月1日 | 4月2日 | 4月3日 | 4月4日 | 4月5日 |
温差 | 9 | 10 | 11 | 8 | 12 |
发芽数(颗) | 38 | 30 | 24 | 41 | 17 |
利用散点图,可知线性相关。
(1)求出关于的线性回归方程,若4月6日星夜温差,请根据你求得的线性同归方程预测4月6日这一天实验室每100颗种子中发芽颗数;
(2)若从4月1日 4月5日的五组实验数据中选取2组数据,求这两组恰好是不相邻两天数据的概率.
(公式:)
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【题目】2019年,我国施行个人所得税专项附加扣除办法,涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人,现采用分层抽样的方法,从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
(Ⅰ)应从老、中、青员工中分别抽取多少人?
(Ⅱ)抽取的25人中,享受至少两项专项附加扣除的员工有6人,分别记为.享受情况如右表,其中“”表示享受,“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工 项目 | A | B | C | D | E | F |
子女教育 | ○ | ○ | × | ○ | × | ○ |
继续教育 | × | × | ○ | × | ○ | ○ |
大病医疗 | × | × | × | ○ | × | × |
住房贷款利息 | ○ | ○ | × | × | ○ | ○ |
住房租金 | × | × | ○ | × | × | × |
赡养老人 | ○ | ○ | × | × | × | ○ |
(i)试用所给字母列举出所有可能的抽取结果;
(ii)设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”,求事件发生的概率.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC与BD交于点O,PC⊥底面ABCD, 点E为侧棱PB的中点.
求证:(1) PD∥平面ACE;
(2) 平面PAC⊥平面PBD.
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