Question

（2007•温州一模）如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，若AB=3，BC=4，AA₁=7，且AB⊥BC，设D是BB₁上一点．
（Ⅰ）求点B到平面AA₁C₁C的距离；
（Ⅱ）当△A₁CD的周长最小时，试求二面角B-AC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）先作出表示点B到平面ACC₁A₁的距离的线段，过B作BE⊥AC于E，则BE⊥ACC₁A₁，则BE为点B到平面ACC₁A₁的距离，再进行求解；
（II）利于侧面ABB₁A₁展到平面CC₁B₁B上，则当A₁，D，C共线时△A₁CD的周长最小，∠DEB即为所求二面角的平面角，从而可求．

解答：解：（I）过B作BE⊥AC于E，则BE⊥ACC₁A₁，则BE为点B到平面ACC₁A₁的距离，---（3分）
可得点B到平面ACC₁A₁的距离

12

5

．---（6分）
（II）如图将侧面ABB₁A₁展到平面CC₁B₁B上，则当A₁，D，C共线时△A₁CD的周长最小，此时DB=4，---（9分）
又DE⊥AC，故∠DEB即为所求二面角的平面角，---（11分）
则tan∠DEB=

5

3

，故所求二面角的大小为arctan

5

3

．---（14分）

注：对于向量法也进行相应给分．

点评：本题以直三棱柱为载体，考查点面距离，考查面面角，考查空间想象力．