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(本小题满分14分)
个首项都是1的等差数列,设第个数列的第项为,公差为,并且成等差数列.
(Ⅰ)证明的多项式),并求的值
(Ⅱ)当时,将数列分组如下:
(每组数的个数构成等差数列).
设前组中所有数之和为,求数列的前项和
(Ⅲ)设是不超过20的正整数,当时,对于(Ⅱ)中的,求使得不等式
成立的所有的值.
解:(Ⅰ)由题意知.

同理,,…,

又因为成等差数列,所以.
,即是公差为的等差数列.
所以,
,则,此时. ………4分
(Ⅱ)当时,
数列分组如下:
按分组规律,第组中有个奇数,
所以第1组到第组共有个奇数.
注意到前个奇数的和为
所以前个奇数的和为.
即前组中所有数之和为,所以
因为,所以,从而
所以 .
.


.
所以 .         ………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)得.
故不等式就是
考虑函数
时,都有,即

注意到当时,单调递增,故有.
因此当时,成立,即成立.
所以,满足条件的所有正整数.    …………………………14分
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