Question

如图已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．
（1）求点B的坐标；
（2）若二次函数y=ax²+bx+c的图象经过A、B、O 三点，求此二次函数的解析式；                             
（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）要求点B的坐标，在RtOAB中，过B作BD垂直于x轴，垂足为D，只要求OD，BD即可
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

）（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c，解方程可求a，b，c进而可求函数解析式
（3）设存在点C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四边形ABCO的面积最大，由于△OAB的面积为定值，只要△OBC的面积最大，四边形ABCO的面积就最大
过点C做x轴的垂线，垂足为E，交OB于点F，则S_△OBC=

1

2

CF•OE+

1

2

CF•ED=

1

2

CF•OD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)，利用二次函数的性质可求

解答：解：（1）在RtOAB中，∠AOB=30°
∴OB=

3

，过B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD=

3

2

，BD=

3

2

∴B(

3

2

，

3

2

)（3分）
（2）把A（2，0），B（

3

2

，

3

2

），O（0，0）三点的坐标代入y=ax²+bx+c可得

c=0 4a+2b+c=0 9a 4 + 3b 2 +c= 3 2

∴a=-

2 3

3

，b=

4 3

3

，c=0
∴所求的二次函数的解析式为y=-

2  3

3

x2+

4 3

3

x（6分）
（3）设存在点C（x，y）（0＜x＜

3

2

），使得四边形ABCO的面积最大
∵△OAB的面积为定值
∴只要△OBC的面积最大，四边形ABCO的面积就最大
过点C做x轴的垂线，垂足为E，交OB于点F，过B做BD垂直于y轴，则
S_△OBC=

1

2

EF•BD=

3

4

CF=

3

4

(yC-yF)=

3

4

(-

2 3

3

x2+

3

x)
∴S_△OBC=-

3

2

x 2 +

3 3

4

x=-

3

2

(x-

3

4

)2+

9 3

32

∴当x=

3

4

时，△OBC的面积最大，最大面积为

9 3

32

此时点C的坐标为（

3

4

，

5 3

8

），四边形ABCO的面积为

25 3

32

（10分）

点评：本题主要考查了在直角三角形中求解线段的长度，及利用待定系数法求解二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解函数的最大值等知识的综合应用．