【题目】若数列{an}中的项都满足a2n﹣1=a2n<a2n+1(n∈N*),则称{an}为“阶梯数列”.
(1)设数列{bn}是“阶梯数列”,且b1=1,b2n+1=9b2n﹣1(n∈N*),求b2016;
(2)设数列{cn}是“阶梯数列”,其前n项和为Sn , 求证:{Sn}中存在连续三项成等差数列,但不存在连续四项成等差数列;
(3)设数列{dn}是“阶梯数列”,且d1=1,d2n+1=d2n﹣1+2(n∈N*),记数列{ }的前n项和为Tn , 问是否存在实数t,使得(t﹣Tn)(t+
)<0对任意的n∈N*恒成立?若存在,请求出实数t的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】
(1)解:设数列{bn}是“阶梯数列”,且b1=1,b2n+1=9b2n﹣1(n∈N*),
∴数列{b2n﹣1}是等比数列,首项为1,公比为9.
∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014
(2)证明:∵数列{cn}是“阶梯数列”,∴c2n﹣1=c2n.
∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1,因此{Sn}中存在连续三项成等差数列.
假设{Sn}中存在连续四项成等差数.∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2,
∴an+1=an+2=an+3,
n=2k﹣1时,a2k=a2k+1=a2k+2,与数列{cn}是“阶梯数列”矛盾;
同理n=2k时,也得出矛盾
(3)解:设数列{dn}是“阶梯数列”,且d1=1,d2n+1=d2n﹣1+2(n∈N*),
∴数列{d2n﹣1}是等差数列,公差为2,首项为1.
∴d2n﹣1=1+2(n﹣1)=2n﹣1=d2n.
=
=
=
.
n=2k(k∈N*)时,Tn=T2k= +
+…+
=2
=2× ×
=1﹣ =1﹣
=
.
∴Tn∈ ,
∈
.
∴(t﹣Tn)(t+ )<0,
∴ <t<Tn,解得﹣1≤t
.①
n=2k﹣1(k∈N*)时,Tn=T2k﹣ =T2k﹣
=1﹣ ﹣
(12k﹣1﹣12k+1)=1﹣
∈
,
∴ ∈[﹣3,﹣1).
∴(t﹣Tn)(t+ )<0,
∴ <t<Tn,∴﹣1≤t
.②.
由①②可得:实数t的取值范围是﹣1≤t
【解析】(1)设数列{bn}是“阶梯数列”,且b1=1,b2n+1=9b2n﹣1(n∈N*),b2016=b2015 , 再利用等比数列的通项公式即可得出.(2)由数列{cn}是“阶梯数列”,可得c2n﹣1=c2n . 即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1 , 即可证明{Sn}中存在连续三项成等差数列.假设{Sn}中存在连续四项成等差数.Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2 , 可得an+1=an+2=an+3 , 得出矛盾.(3)设数列{dn}是“阶梯数列”,且d1=1,d2n+1=d2n﹣1+2(n∈N*),利用等差数列的通项公式可得:d2n﹣1=2n﹣1=d2n . =
=
.n=2k(k∈N*)时,Tn=T2k=
+
+…+
=2
,利用“裂项求和”及其数列的单调性可得Tn∈
,由(t﹣Tn)(t+
)<0,可得
<t<Tn . n=2k﹣1(k∈N*)时,Tn=T2k﹣
=T2k﹣
,同理可得.
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式(及其变式)和数列的通项公式的相关知识点,需要掌握通项公式:或
;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题.
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【题目】设函数fn(x)=﹣xn+3ax(a∈R,n∈N+),若对任意的x1 , x2∈[﹣1,1],都有|f3(x1)﹣f3(x2)|≤1,则a的取值范围是( )
A.[ ,
]
B.[ ,
]
C.[ ,
]
D.[ ,
]
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【题目】下列说法错误的是_____________.
①.如果命题“”与命题“
或
”都是真命题,那么命题
一定是真命题.
②.命题,则
③.命题“若,则
”的否命题是:“若
,则
”
④.特称命题 “,使
”是真命题.
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【题目】在数列{an}中,a1=﹣2101 , 且当2≤n≤100时,an+2a102﹣n=3×2n恒成立,则数列{an}的前100项和S100= .
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a3=5,S15="225."
(1)求数列{an}的通项an;
(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.
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【题目】某城市户居民的月平均用电量(单位:度),以
,
,
,
,
,
,
分组的频率分布直方图如图.
(1)求直方图中的值;
(2)求月平均用电量的众数和中位数;
(3)在月平均用电量为,
,
,
的四组用户中,用分层抽样的方法抽取
户居民,则月平均用电量在
的用户中应抽取多少户?
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