Question

f（x）=ax（x-1）（a≠0）图象的顶点在函数y=log₂x的图象上，若h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）=ax（x-1）（a≠0）图象的顶点（

1

2

，-

a

4

），在函数y=log₂x的图象上，可求出a值，进而得到f（x）的解析式，由函数图象的对折变换得到函数y=|f（x）|的图象，再由h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，则函数y=|f（x）|的图象与直线y=-m有且只有两个交点，数形结合得到m的取值范围．

解答： 解：f（x）=ax（x-1）（a≠0）图象的顶点为（

1

2

，-

a

4

），
故-

a

4

=log₂

1

2

=-1，故a=4，
故f（x）=4x（x-1），
则函数y=|f（x）|的图象如下图所示：

若h（x）=|f（x）|+m恰有2个零点，
则函数y=|f（x）|的图象与直线y=-m有且只有两个交点，
故-m＞1，或-m=0，
则m＜-1或m=0．

点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，对数函数的图象和性质，函数图象的对折变换，函数的零点，是函数的综合应用，难度中档．