Question

已知等差数列{a_n}的各项均为正数，且d≠0，a₁=1，从该数列中依次抽出无穷项构成对等比数列{b_n}，已知b₁=a₁，b₂=a₃，b₄=a₂₇．
（1）求a_n，b_n；
（2）设c_n=

(6an-3)bn

an+1an

，数列{c_n}的前n项和S_n，求S_n＞2014的最小自然数n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列和等比数列的性质得b₂=a₃=1+2d=q，b₄=a₂₇=1+26d=q³，由此解方程组能求出a_n=n，b_n=3^n-1．
（2）由c_n=

(6an-3)bn

an+1an

=

(2n-1)•3n

n(n+1)

=

3n+1

n+1

-

3n

n

，得Sn=(

32

2

-

3

1

)+(

33

3

-

32

2

)+(

34

4

-

33

3

)+…+（

3n+1

n+1

-

3n

n

）=

3n+1

n+1

-3，设f（n）=

3n+1

n+1

，由此能求出S_n＞2014的最小自然数n为8．

解答： 解：（1）∵等差数列{a_n}的各项均为正数，且d≠0，a₁=1，
从该数列中依次抽出无穷项构成对比数列{b_n}，
b₁=a₁，b₂=a₃，b₄=a₂₇，
∴b₁=a₁=1，
b₂=a₃=1+2d=q，b₄=a₂₇=1+26d=q³，
解得d=1或d=-

5

2

（舍）或d=0（舍），
∴q=3，
∴a_n=n，b_n=3^n-1．
（2）∵c_n=

(6an-3)bn

an+1an

=

(2n-1)•3n

n(n+1)

=

3n+1

n+1

-

3n

n

，
∴Sn=(

32

2

-

3

1

)+(

33

3

-

32

2

)+(

34

4

-

33

3

)+…+（

3n+1

n+1

-

3n

n

）
=

3n+1

n+1

-3，
设f（n）=

3n+1

n+1

，
∵

f(n+1)

f(n)

=

3(n+1)

n+2

＞1，∴f（n+1）＞f（n），
又f（8）=

39

9

=2187＞2014，f（7）=

38

8

=820.125＜2014，
∴S_n＞2014的最小自然数n为8．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足条件的最小自然数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．