Question

19．已知点A（a，1）．B（2，-a），线段AB与直线x-y+2=0相交，则|AB|的取值范围是[3，3$\sqrt{5}$]．

Answer 1

分析 由线段AB与直线x-y+2=0相交，得（a-1+2）（2+a+2）≤0，由此求出a的范围，再由两点间距离公式能求出|AB|的取值范围．

解答 解：∵点A（a，1）．B（2，-a），线段AB与直线x-y+2=0相交，
∴点A（a，1）．B（2，-a）分布在直线x-y+2=0两侧或一点在AB上，另一点不在AB上，
∴（a-1+2）（2+a+2）≤0，
解得-4≤a≤-1，
∴|AB|=$\sqrt{（a-2）^{2}+（1+a）^{2}}$=$\sqrt{2{a}^{2}-2a+5}$，
∴|AB|在[-4，-1]上是减函数，
∴x=-4时，|AB|_max=3$\sqrt{5}$；x=-1时，|AB|_min=3．
∴|AB|的取值范围是[3，3$\sqrt{5}$]．
故答案为：[3，3$\sqrt{5}$]．

点评 本题线线段长的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．