Question

已知离心率为的椭圆（a＞b＞0）经过点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线l交椭圆C于M、N两点，若（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

解：（1）依题意，离心率为的椭圆（a＞b＞0）经过点．
∴，且
解得：a²=6，b²=2
故椭圆方程为…（4分）
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线l的方程可设为y=k（x+2）
代入椭圆方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），∴，…（6分）
由得：，
∴…（9分）
又，原点O到l的距离，
则=
解得
∴l的方程是…（13分）
（用其他方法解答参照给分）
分析：（1）根据离心率为的椭圆（a＞b＞0）经过点，建立方程，确定几何量的值，从而可得椭圆方程；
（2）设直线l的方程代入椭圆方程得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，根据，可得，再利用，求得k的值，即可求得l的方程．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，正确计算三角形的面积是关键．