【题目】已知函数.
(1)当时,试求函数图像过点的切线方程;
(2)当时,若关于的方程有唯一实数解,试求实数的取值范围;
(3)若函数有两个极值点,且不等式恒成立,试求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或;(3).
【解析】
试题对于(1),先利用导数求出切线的斜率,再写出点斜式方程;
对于(2),方程可化为:,构造,通过研究的单调性即可求出的范围.
对于(3),首先根据有两个极值点,利用导数求出的取值范围以及极值点;将恒成立转化为恒成立,然后构建函数求出的最小值即可.
试题解析:
(1)当时,有.
∵,∴,
∴过点的切线方程为:,
即.
(2)当时,有,其定义域为:,
从而方程可化为:,
令,则,
由或;.
∴在和上单调递增,在上单调递减,
且,
又当时,;当时,.
∵关于的方程有唯一实数解,
∴实数的取值范围是:或.
(3)∵的定义域为:.
令.
又∵函数有两个极值点,
∴有两个不等实数根,
∴,且,
从而.
由不等式恒成立恒成立,
∵,
令,
∴,当时恒成立,
∴函数在上单调递减,∴,
故实数的取值范围是:.
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【题目】如图所示,在棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,PA=AD=DC=2,AB=4且AB∥CD,∠BAD=90°.
(1)求证:BC⊥PC;
(2)求PB与平面PAC所成角的正弦值.
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【题目】某班共有学生45人,其中女生18人,现用分层抽样的方法,从男、女学生中各抽取若干学生进行演讲比赛,有关数据见下表(单位:人)
性别 | 学生人数 | 抽取人数 |
女生 | 18 | |
男生 | 3 |
(1)求和;
(2)若从抽取的学生中再选2人做专题演讲,求这2人都是男生的概率.
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【题目】已知直线的参数方程是(是参数),以坐标原点为原点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)判断直线与曲线的位置关系;
(2)过直线上的点作曲线的切线,求切线长的最小值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为为参数.在以原点为极点,为参数).在以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程;
(Ⅱ)设,直线与曲线C交于M,N两点,求的值.
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【题目】为了打好脱贫攻坚战,某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研,力争有效的改良玉米品种,为农民提供技术支.现对已选出的一组玉米的茎高进行统计,获得茎叶图如右图(单位:厘米),设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米,否则为矮茎玉米.
(1)完成列联表,并判断是否可以在犯错误的概率不超过1%的前提下,认为抗倒伏与玉米矮茎有关?
(2)①按照分层抽样的方式,在上述样本中,从易倒伏和抗倒伏两组中抽取9株玉米,设取出的易倒伏矮茎玉米株数为,求的分布列(概率用组合数算式表示);
②若将频率视为概率,从抗倒伏的玉米试验田中再随机抽取出50株,求取出的高茎玉米株数的数学期望和方差.
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【题目】已知为坐标原点,圆,定点,点是圆上一动点,线段的垂直平分线交圆的半径于点,点的轨迹为.
(1)求曲线的方程;
(2)已知点是曲线上但不在坐标轴上的任意一点,曲线与轴的焦点分别为,直线和分别与轴相交于两点,请问线段长之积是否为定值?如果还请求出定值,如果不是请说明理由;
(3)在(2)的条件下,若点坐标为(-1,0),设过点的直线与相交于两点,求面积的最大值.
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【题目】某商场在“五一”促销活动中,为了了解消费额在5千元以下(含5千元)的顾客的消费分布情况,从这些顾客中随机抽取了100位顾客的消费数据(单位:千元),按,,,,分成5组,制成了如图所示的频率分布直方图现采用分层抽样的方法从和两组顾客中抽取4人进行满意度调查,再从这4人中随机抽取2人作为幸运顾客,求所抽取的2位幸运顾客都来自组的概率.
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