Question

（2013•湛江二模）已知x轴上有一列点P₁，P₂ P₃，…，P_n，…，当n≥2时，点P_n是把线段P_n-1 P_n+1 作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，设线段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的长度分别 为a₁，a₂，a₃，…，a_n，其中a₁=1．
（1）求a_n关于n的解析式；
（2 ）证明：a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3
（3）设点P（n，a_n） {n≥3），在这些点中是否存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0) 的图象上？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于P_n是把P_n-1P_n+1线段作n等分的分点中最靠近P_n+1的点，所以知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1，从而可得

an

an-1

=

1

n-1

，进而利用叠乘即可求出a₂，a₃和a_n的表达式；
（2）对通项进行放缩，再求和，利用等比数列的求和公式即可证明；
（3）假设存在，即可得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

，再设b_n=

n2

n!

，考查数列{b_n}单调减即可．

解答：（1）解：由已知P_n-1P_n=（n-1）P_nP_n-1
令n=2，P₁P₂=P₂P₃，∴a₂=1，同理a₃=

1

2

，

an

an-1

=

1

n-1

∴a_n=

1

n-1

a_n-1=

1

n-1

•

1

n-2

•a_n-2=…=

1

(n-1)!

（2）证明：∵n≥2时，

1

(n-1)!

=

1

1×2×…×n

≤

1

2n-2

∴a₁+a₂+a₃+…+a_n≤1+1+

1

2

+…

1

2n-2

=3-

1

2n-2

＜3
而n=1时，结论成立，故a₁+a₂+a₃+…+a_n＜3；
（3）假设有两个点A（p，a_p），B（q，a_q），都在函数y=

k

(x-1)2

上，
即a_p=

k

(p-1)2

，a_q=

k

(q-1)2

所以

(p-1)2

(p-1)!

=k，

(q-1)2

(q-1)!

=k，消去k得

(p-1)2

(p-1)!

=

(q-1)2

(q-1)!

 ①，
设b_n=

n2

n!

，考查数列{b_n}的增减情况，
∵b_n-b_n-1=

n2

n!

-

(n-1)2

(n-1)!

=-

n2-3n+1

(n-1)!

，
∴当n＞2时，n²-3n+1＞0，所以对于数列{b_n}为递减数列
∴不可能存在p，q使得①式成立，
∴不存在两个点同时在函数y=

k

(x-1)2

(k＞0) 的图象上．

点评：本题以线段为载体，考查数列的通项，考查放缩法的运用，考查函数的单调性，综合性强，难度较大．