Question

已知四棱锥P—GBCD中(如图)，PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4

（1）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；

（2）若F点是棱PC上一点，且，，求的值.

 

Answer 1

（1），（2）

【解析】

试题分析：法一：空间向量法。（1）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标，再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量所成角的余弦值，但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角，所以两异面和所成角的余弦值为向量所成角的余弦值的绝对值。（2）根据题意设，根据，可得的值，根据比例关系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根据异面直线所成角的定义可过点作//交于，则（或其补角）就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形，则，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，过作，为垂足。易得证平面，可得，从而易得证//，可得，即可求的值。

试题解析：解法一：

（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，

则故

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设

在平面内过点作，为垂足，则

，∴

解法二：

（1）在平面内，过点作//交于，连结，则（或其补角）就是异面直线与所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（2）在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.

考点：1异面直线所成的角；2线线垂直、线面垂直、面面垂直；3空间向量法解立体几何问题。