Question

【题目】已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的上、下焦点分别为F1 ， F2 ， 点D在椭圆上，DF2⊥F1F2 ， △F1F2D的面积为2 ，离心率e= ，抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线l经过D点．
（1）求椭圆E与抛物线C的方程；
（2）过直线l上的动点P作抛物线的两条切线，切点为A，B，直线AB交椭圆于M，N两点，当坐标原点O落在以MN为直径的圆外时，求点P的横坐标t的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得F1（0，c），F2（0，﹣c），

c2=a2﹣b2，DF2⊥F1F2，令x=c，可得y=± ，

可得|DF2|= ，

△F1F2D的面积为S= |F1F2||DF2|= 2c =2 ，①

将e= 代入①解得b=2，

由e= ，可得e2=1﹣ = ，可得a=2 ，c=2，

即有椭圆E的方程为 =1；

由D的纵坐标为﹣2，抛物线的准线方程为y=﹣2，

即有抛物线C的方程为x2=8y；

（2）解：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x3，y3），N（x4，y4），

由y= x2，可得y′= x，

PA：y﹣y1= x1（x﹣x1），将P（t，﹣2）代入可得﹣2﹣y1= x1（t﹣x1），

以及y1= x12，可得y1= tx1+2，

同理可得y2= tx2+2，

即有直线AB的方程为y= tx+2，

将直线AB的方程代入椭圆方程，可得（32+t2）x2+16tx﹣64=0，

判别式为△=256t2+256（32+t2）＞0，

x3+x4=﹣ ，x3x4= ，

即有 =x3x4+y3y4=（1+ ）x3x4+ （x3+x4）+4

= = ﹣8，

由点O在圆外，可得 ＞0，

即为 ﹣8＞0，解得﹣2 ＜t＜2 ．

【解析】（1）求得焦点的坐标，及|DF2|= ，运用三角形的面积公式和离心率公式，可得a，b，进而得到椭圆的方程；求得抛物线的准线方程，可得抛物线的方程；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（x3 ， y3），N（x4 ， y4），求得函数的导数，求出切线PA，PB的方程，进而得到直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理，再由向量的数量积的坐标表示和点在圆外，可得数量积大于0，解不等式即可得到所求范围．