Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．

（1）求证：PA∥平面EDB；
（2）求锐二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：如图，以D为坐标原点，分别以 所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．

则A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，1）．

法一： ．

设 ，即（2，0，﹣2）=λ（2，2，0）+μ（0，1，1）．

解得λ=1，μ=﹣2．

所以 ．

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB．

法二：取BD的中点G，则G（1，1，0）. ， ．

所以 ，所以PA∥EG．

又PA平面EDB，EG平面EDB，

所以PA∥平面EDB．

法三： ．

设 =（x，y，z）为平面EDB的一个法向量，

则 ，即2x+2y=0，y+z=0．

取y=﹣1，则x=z=1．于是 =（1，﹣1，1）．

又 ，所以 ．所以 ．

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB．

解法二：连接AC，设AC∩BD=G．

因为ABCD是正方形，所以G是线段AC的中点．

又E是线段PC的中点，所以，EG是△PAC的中位线．

所以PA∥EG．

又PA平面EDB，EG平面EDB，

所以PA∥平面EDB．

（2）解法一：由（1）中的解法一， ， ．

设 =（x1，y1，z1）为平面CPB的一个法向量，

则 ， ．

取y1=1，则z1=1．于是 =（0，1，1）．

因为ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．

又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PDB．

所以 是平面PDB的一个法向量．

所以

所以，锐二面角C﹣PB﹣D的大小为60°．

解法二：如图，设AC∩BD=G．

在Rt△PDB中，过G作GF⊥PB于F，连接FC．

因为四边形ABCD是正方形，

所以CA⊥BD，即CG⊥BD．

因为侧棱PD⊥底面ABCD，CG平面ABCD，

所以CG⊥PD．

又CG⊥BD，PD∩BD=D，所以CG⊥平面PDB．

所以CG⊥PB．

又PB⊥GF，CG∩GF=G，所以PB⊥平面CGF．

所以PB⊥FC．从而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角

在Rt△PDB中， ．

在Rt△FGC中， ．所以∠GFC=60°．

所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60°

【解析】（1）解法一：以D为坐标原点，分别以 所在的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz．求出相关点的坐标．法一，推出 ．然后证明PA∥平面EDB．法二：取BD的中点G，则G（1，1，0），利用 ，说明PA∥EG．证明PA∥平面EDB．法三：求出平面EDB的一个法向量 ，证明 ，推出PA∥平面EDB．解法二：连接AC，设AC∩BD=G．证明PA∥EG．然后证明PA∥平面EDB．（2）解法一：由（1）中的解法一，求出平面CPB的一个法向量 ，证明AC⊥BD．PD⊥AC．推出AC⊥平面PDB．求出平面PDB的一个法向量，利用空间向量的数量积求解锐二面角C﹣PB﹣D的大小．解法二：过G作GF⊥PB于F，连接FC．说明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一个平面角通过求解三角形即可．