Question

巳知各项均为正数的等差数列{a_n}三项的和为27，且满足a₁a₃=65数列{b_n}的前n项和为S_n，且对一切正整数n，点（n，S_n）都在函数图象上．
（I） 求数列{a_n}、{b_n}通项公式；
（II）设c_n=a_nb_n，求数列{c_n}前n项和T_n；
（III）设，若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，试证明：．

Answer 1

（I）解：∵等差数列{a_n}三项的和为27，∴a₂=9
∵a₁a₃=65，∴（9-d）（9+d）=65，∴d=±4
∵等差数列{a_n}的各项均为正数，∴d=4，∴a₂=，5
∴a_n=4n+1；
∵点（n，S_n）都在函数图象上．
∴当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=3ⁿ，
∵n=1时，b₁=3
∴b_n=3ⁿ；
（II）解：c_n=a_nb_n=（4n+1）•3ⁿ，
∴数列{c_n}前n项和T_n=5×3+9×3²+…+（4n+1）•3ⁿ，①
∴3T_n=5×3²+9×3³+…+（4n+1）•3ⁿ⁺¹，②
①-②整理可得：-2T_n=5×3+4×3²+…+4•3ⁿ-（4n+1）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=+；
（III）证明：∵，d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，
∴3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）λ
∴（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ
（1）当n为正偶数时，有（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ恒成立
∴=
∵n=2时，=-
∴；
（2）当n为正奇数时，有-（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ恒成立
∴=
∵n=1时，=
∴
综上可知d_n+1＞d_n，n∈N^*成立时，．
分析：（I）利用等差数列{a_n}三项的和为27，可得a₂，根据a₁a₃=65，等差数列{a_n}的各项均为正数，可得d，从而可求数列{a_n}的通项公式；利用点（n，S_n）都在函数图象上，可求数列{b_n}的通项公式；
（II）利用错位相减法可求数列的和；
（III）利用若d_n+1＞d_n，n∈N^*成立，可得（-1）ⁿ（3×2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2×3ⁿ，再分n为正偶数、正奇数，利用分类参数法，求出相应的最值，即可求得结论．
点评：本题考查数列的通项，考查数列的求和，考查求参数的范围，解题的关键是正确运用数列的求和方法，正确分离参数，属于中档题．