Question

已知函数，（，）．
（1）判断曲线在点（1，）处的切线与曲线的公共点个数；
（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围．

Answer 1

（1）当△>时，即或时，有两个公共点；
当△=时，即或时，有一个公共点；
当△<时,即时，没有公共点 .
（2）当时，函数有两个零点.

解析试题分析：（1）求导数得切线的斜率，由直线方程的点斜式，得到曲线在点（1，）处的切线方程为；
由，利用一元二次方程根的判别式讨论得解.
（2）为讨论=的零点，
令得到，
因此可令，利用导数知识，讨论起最大值、最小值即得所求.
试题解析：（1），所以斜率                     2分
又，曲线在点（1，）处的切线方程为        3分
由                     4分
由△=可知：
当△>时，即或时，有两个公共点；
当△=时，即或时，有一个公共点；
当△<时,即时，没有公共点                           7分
（2）=，
由得                                      8分
令，则    
当，由得                          10分
所以，在上单调递减，在上单调递增                 
因此，                                          11分
由，比较可知
所以，当时，函数有两个零点.          14分
考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，直线与圆锥曲线的位置关系，转化与划归思想.