Question

10．已知函数f（x）=sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若f（A）=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，B=$\frac{π}{3}$，c=2，求b．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先化简函数，再求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求出A，可得C，利用正弦定理求b．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=sinxcos（x-$\frac{π}{3}$）=sinx（$\frac{1}{2}$cosx+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinx）=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴f（x）的最小正周期T=π；
（Ⅱ）∵f（A）=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$sin（2A-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{4}$，
∴sin（2A-$\frac{π}{3}$）=1，
∴A=$\frac{5}{12}$π，
∵B=$\frac{π}{3}$，
∴C=$\frac{π}{4}$，
由正弦定理可得$\frac{2}{sin\frac{π}{4}}=\frac{b}{sin\frac{π}{3}}$，∴b=$\sqrt{6}$．

点评 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查正弦定理的运用，属于中档题．