Question

已知命题p：关于x的方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0在R上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，若命题“p或q”是真命题，P且q为假命题，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出命题p，q成立的等价条件，然后利用命题“p或q”是真命题，P且q为假命题，求a的取值范围．

解答：解：方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0等价为

3

2

sin2x+

1

2

+

1

2

cos2x-a-

1

2

=0，即six(2x+

π

6

)=a，
要使x的方程

3

sinx•cosx+cos2x-a-

1

2

=0在R上有解，
则-1≤a≤1，即p：-1≤a≤1．
只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，则△=4a²-8a=0，即a=0或2．即q：a=0或2．
命题“p或q”是真命题，P且q为假命题，则p，q一真一假，
若p真q假，则-1≤a≤1且a≠0．
若p假q正，则a=2．
综上，a的取值范围为1≤a≤1且a≠0或a=2．

点评：本题主要考查复合命题的与简单命题的真假应用，将命题进行等价化简是解决此类问题的关键．