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    【题目】在菱形中，且，点分别是棱的中点，将四边形沿着转动，使得与重合，形成如图所示多面体，分别取的中点.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）若平面平面，求与平面所成的正弦值.

    【答案】（1）见解析；（2）与平面所成的正弦值为.

    【解析】

    （Ⅰ）先证明平面，平面，从而得证平面平面，故平面；（Ⅱ）以为原点，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与，带入公式得到与平面所成的正弦值.

    （Ⅰ）取中点，连接，由分别是的中点

    ，

    又，平面，平面，又

    平面平面，又平面

    平面.

    （Ⅱ）取中点，设交于点

    ，又平面平面

    平面，在菱形中，

    以为原点，如图建立空间直角坐标系，

    过作，垂足为， 显然为中点，，

    则，，

    ，设平面的法向量为，，，由得，令得，

    ，又 ，

    ，即与平面所成的正弦值为.

    练习册系列答案
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    【题目】如图，四棱锥中，，，为的中点．

    （1）求证：平面；

    （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．

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    【题目】有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：

    110 120 123 165 432 190 174 235 428 318

    249 280 162 146 210 120 123 120 150 140

    （1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差

    （2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本.

    （3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？

    （4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10,13,16,19的样本，分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.

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