Question

设平面向量

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），函数f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）当x∈[-

π

3

，

π

2

]时，求函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）当f（α）=

13

5

，且-

2π

3

＜α＜

π

6

时，求sin（2α+

π

3

）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算,正弦函数的定义域和值域

专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（Ⅰ）由向量数量积的坐标运算求得函数f（x）并化简，然后结合x的范围求得函数f（x）的取值范围；
（Ⅱ）由f（α）=

13

5

，且-

2π

3

＜α＜

π

6

求得sin(α+

π

6

)，cos(α+

π

6

)的值，再由倍角公式求得sin（2α+

π

3

）的值．

解答： 解析：（Ⅰ）∵

m

=（cos²

x

2

，

3

sinx），

n

=（2，1），
∴f(x)=(cos2

x

2

，  

3

sinx) •(2， 1)=2cos2

x

2

+

3

sinx
=cosx+

3

sinx+1=2sin(x+

π

6

)+1．
当x∈[-

π

3

， 

π

2

] 时，x+

π

6

∈[-

π

6

， 

2π

3

]，
则-

1

2

≤sin(x+

π

6

)≤1，0≤2sin(x+

π

6

)+1≤3，
∴f（x）的取值范围是[0，3]；
（Ⅱ）由f(α)=2sin(α+

π

6

)+1=

13

5

，得sin(α+

π

6

)=

4

5

，
∵-

2π

3

＜α＜

π

6

，
∴-

π

2

＜α+

π

6

＜

π

3

，得cos(α+

π

6

)=

3

5

，
∴sin(2α+

π

3

)=sin[2(α+

π

6

)]=2sin(α+

π

6

)cos(α+

π

6

)=2×

4

5

×

3

5

=

24

25

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，考查了三角函数中的恒等变换的应用，训练了由已知三角函数的值求其它三角函数值，是中档题．