Question

设S是满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则

1

1-a

∈S．试解答下列问题：
（1）若2∈S，则S中必还有其他两个元素，求出这两个元素；
（2）求证：若a∈S，则1-

1

a

∈S；
（3）在集合S中，元素的个数能否只有1个？请说明理由．

Answer 1

（1）若2∈S，则

1

1-2

=-1∈S，则

1

1-(-1)

=

1

2

∈S，所以

1

1- 1 2

=2∈S，此时元素循环，
所以S中必还有其他两个元素，这两个元素为-1和

1

2

．
（2）若a∈S，

1

1-a

∈S，则

1

1- 1 1-a

=1-

1

a

∈S，所以（2）成立．
（3）不能，若能的话则有

1

1-a

=a，即a²-a+1=0，此时判别式△=1-4=-3＜0对应方程无解，所以a不存在．