Question

讨论函数f(x)＝的单调性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：∵f(x)的定义域为R，令u＝x²－2x，则f(u)＝()^u，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1在(－∞，1]上是减函数，即当x₁＜x₂≤1时，有u₁＞u₂．

　　又∵f(u)＝()^u在其定义域内为减函数，∴f(u₁)＜f(u₂)．

　　∴函数f(x)在(－∞，1]内是增函数．

　　同理可得，f(x)在[1，＋∞)内为减函数，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1，∴u≥－1．

　　又∵f(u)＝()^u在[－1，＋∞)上是减函数，∴0＜f(u)≤()^－1，即f(x)的值域为(0，2]．

　　点评：对于形如y＝a^f(x)(a＞0且a≠1)一类的函数，有以下结论：

　　(1)函数y＝a^f(x)的定义域与f(x)的定义域相同．

　　(2)先确定函数f(x)的值域，再根据指数函数的值域，单调性，可确定函数y＝a^f(x)的值域．

　　(3)当a＞1时，函数y＝a^f(x)与函数f(x)的单调性相同；0＜a＜1时，函数y＝a^f(x)与函数f(x)的单调性?相反．

提示：

函数f(x)＝可认为由函数y＝()^u与u＝x²－2x“复合”而成，因而单调性、值域要统筹考虑二次函数u＝x²－2x和指数函数y＝()^u的性质，然后作出解答．